总结：绞尽脑汁打一生肖，较常见的联想生肖有：生肖猴、生肖蛇、生肖鼠。
其中我认为生肖猴最贴切，猴子机敏聪慧、善于动脑，遇到问题往往会反复思考、寻找办法；生肖蛇代表深思熟虑、谋定后动；生肖鼠则有精明灵活、善于筹谋的一面。以下分别展开分析。
生肖猴｜机敏多智的思考者
【生肖猴】天性聪颖，反应敏捷，遇到事情往往不是直接蛮干，而是先在脑中盘算各种办法。“绞尽脑汁”强调的是为了一个问题反复思索、费尽心思，这一点与属猴人的灵活和机变十分吻合。尤其在面对复杂局面时，属猴人常能从不同角度寻找突破口，看似没有办法的事情，也可能被他们想出新的解决之道。若以传统生肖寓意来看，猴对应机智与巧思，因此是此谜面中最值得优先考虑的生肖。
生肖蛇｜深思善谋的谋略者
【生肖蛇】给人的传统印象是沉着、谨慎、富有心机。它不像猴那样表现得活跃，却更擅长安静观察、慢慢推演。所谓“绞尽脑汁”，也可以理解为为了达成目标而不断思考策略，属蛇人的特点恰恰在于谋而后动。遇到难题时，他们往往不会轻易表露自己的想法，而是在心中反复权衡利弊，寻找最稳妥的解决方式。因此从“费尽心思、苦苦思索”的角度来看，生肖蛇同样具有较强的对应关系。
生肖鼠｜精明灵活的筹划者
【生肖鼠】聪明机警，善于随机应变。传统生肖文化中，鼠常被赋予灵敏、机巧、善于谋划的特点。“绞尽脑汁”并不只是单纯聪明，更有为了摆脱困境而不断想办法的意思。属鼠的人遇到困难时，往往会不断寻找新的路径，不轻易把自己困在一种思路里，所以从“动脑筋、想办法”的层面，也能够与这个成语形成联系。
综合判断
如果只选一个最贴切的生肖，我会倾向于：
第一生肖：猴