总结：大肆吹捧打一生肖，较有代表性的生肖是：猴、鸡、狗。
其中，生肖猴最为贴切，“大肆吹捧”带有夸张、逢迎、把人捧得很高的意味，与猴子机灵善变、善于察言观色的形象较为契合。
生肖猴 机灵圆滑的应变者【生肖猴】
生肖猴自古给人聪明机敏、能言善辩的印象。遇到需要讨好、奉承或迎合他人的场合，属猴之人往往懂得观察对方的情绪，再选择合适的说辞，因此“大肆吹捧”首先容易联想到生肖猴。所谓捧人，就是把对方的优点不断放大，甚至说得远超实际，而猴子的灵活性与这种随机应变的处事方式颇为相似。
从生肖寓意来看，猴代表机敏与变通，既能随机应变，也善于在人际关系中寻找突破口。若把这个成语作为生肖谜语来解，重点并不在“吹”字本身，而在于夸张表达、迎合他人、善于说好话这一层含义，所以生肖猴的契合度较高。
生肖鸡 能说会道的表现者【生肖鸡】
生肖鸡也是一个值得考虑的答案。鸡有“报晓”之意，声音响亮、存在感强，而“大肆吹捧”本身就带有声音张扬、言辞夸大的特点。属鸡的人在传统生肖性格描述中常被认为比较善于表达，喜欢展示自己的长处，也比较注重别人对自己的评价。
因此，如果谜面强调的是把话说得漂亮、夸张地称赞别人，生肖鸡也有一定对应关系。尤其“大肆”二字突出的是程度很深、毫不收敛，更符合鸡鸣高亢、张扬外露的象征特点。
生肖狗 忠诚逢迎的随从者【生肖狗】
生肖狗则属于第三种联想。狗在传统文化中常与忠诚、守护、依附联系在一起。古语中也有“阿谀奉承”一类说法，用来形容为了讨好别人而说许多好听的话。
所以从讨好、奉承、迎合这一角度来看，生肖狗同样能够与“大肆吹捧”产生联系。不过相比生肖猴，狗更多体现的是忠诚和依附，缺少“灵活夸张、见机行事”的特点，因此整体契合度略低。
综合判断
如果按照生肖谜语常见的字面寓意＋性格象征＋成语联想来判断：
第一生肖：猴